המפגש יתקיים ביום חמישי, השני לפברואר, באולם קפלן שבקמפוס גבעת-רם של האוניברסיטה העברית. לפרטים ועדכונים אתם מוזמנים לעקוב אחרי האירוע בפייסבוק.
אם אתם חושבים שתגיעו, אנא מלאו את
הסקר הבא, זה יעזור לנו מאוד.
חפירות על מתמטיקה הוקמה בשנת 2012 כדי ליצור מרחב שיחה לתלמידי מחקר במתמטיקה. הצורך במרחב שיחה כזה היה ניכר ואכן הקבוצה הפכה במהירה לכור פעילות, היכרות וכיף בהשתתפות משרעת רבה של חוקרים מתלמידים מתקדמים לתואר ראשון ועד לפרופסורים.
כדי לחגוג את הקבוצה הנפלאה שצמחה לה, החלטתי לארגן מפגש ראשון במה שאני כולי תקווה שיהפוך למסורת. יום של הרצאות המיועדות לפתוח קצת את הראש של תלמידי מחקר ולחשוף אותנו למתמטיקה נחמדה שכנראה שלא הכרנו.
תודה למרצים, למכון איינשטיין למתמטיקה שהקצו לנו מקום והזמינו אותנו לפיצה, לאמיר דואק שעיצב לנו את הבאנר והפוסטר, למייק זק שעזר לתקן כמה באגים מעצבנים באתר הזה, למי שהרכב הזה שייך לו שאפשר לי לצייר עליו אינטגרלים, למתן טל שצילם את האינטגרלים האלו באופן בלתי תלוי ולכל מי שעודד ותמך.
לוקחים גרף קשיר אינסופי. עבור כל קשת מגרילים באופן בלתי תלוי אם להשאיר אותה שלמה (הסתברות p) או למחוק אותה. עכשיו מסתכלים על הגרף שנשאר: האם הוא מתפרק לחתיכות סופיות בלבד או שנשאר רכיב אינסופי או שמא יש כמה רכיבים אינסופיים? התשובה כמובן תלויה בגרף שהתחלנו איתו וב-p. מסתבר שלכל גרף יש ערך קריטי שאם p גדול ממנו אז יש רכיב אינסופי ואם p קטן ממנו אז אין. נוכיח זאת ונדבר על מה קורה כאשר p שווה לערך הקריטי ואיך העתקות קונפורמיות קשורות לכל זה.
בשנת 2002 שלושה מדעני מחשב הודיים פרסמו מאמר ובו אלגוריתם הבודק האם מספר נתון p הוא ראשוני בסיבוכיות זמן פולינומיאלית ובאופן דטרמיניסטי. זו ההוכחה הראשונה לכך שקבוצת הראשוניים ניתנת להכרעה על ידי אלגוריתם במחלקת הסיבוכיות P מבלי להניח איזושהי גרסה מוכללת של השערת רימן או השערה בלתי-מוכחת אחרת. בהרצאה אציג את האלגוריתם ואוכיח את נכונותו.
רקע מומלץ: תורת המספרים, אלגברה.
השאלה העיקרית בקומבינטוריקה אקסטרימלית היא כמה גדול צריך להיות מבנה מתמטי כדי להבטיח שהוא יקיים תכונה מסוימת? כמה גדולה צריכה להיות קבוצה של מספרים שלמים בין 1 לn כדי להבטיח שתהיה בה סדרה חשבונית? כמה צלעות צריכות להיות בגרף על n קודקודים כדי שנוכל להתחייב על כך שיש בו משולש? מה ישתנה אם נחליף את המספרים השלמים בראשוניים או את הגרף בגרף מקרי? בהרצאה נדבר על השאלות האלו, נציג תוצאות בתחום, נדון בטכניקות ורעיונות ובהתאם לזמן גם נראה הוכחות.
בחקר חבורות (וגם מבנים אלגבריים אחרים) אנחנו באופן טבעי מחפשים "לינאריזציה של החבורה": ייצוג של חבורה בעזרת מטריצות, כי לעבוד עם מטריצות קל יחסית. ייצוג כזה אומר שאיברי החבורה שלנו G פועלים על מרחב ווקטורי סוף-מימדי V ע"י העתקות לינאריות הפיכות מ-V ל-V. מידע מסוג זה נקרא הצגה של החבורה G על מרחב ווקטורי V.
עכשיו נניח וגילינו את כל ההצגות הסוף מימדיות של חבורה. ההצגות האלו נמצאות באופן טבעי במבנה הנקרא קטגורייה, שהוא במנה מרכזי במתמטיקה המודנרית. באותו יום, סיפרנו לחבר על מבנה הקטגורייה של ההצגות של חבורה G, אבל הוא נרדם ולא הספיק לשמוע על איזו חבורה מדובר. האם הוא יוכל לשחזר את החבורה על פי כל ההצגות שלה, כלומר, האם באמת אוסף כל הצגות הסוף-מימדיות של חבורה מכילות את כל המידע על החבורה? איך הוא יודע שקיימת חבורה G כזו ולא רימינו? ואיך זה קשור לחבורה סימטרית על (3.14-) איברים?
תוכנית מתמטית: Tannaka reconstruction, Deligne theorem. בסוף ההרצאה יוזכרו קטגוריות דלין (Deligne).
רקע מומלץ: מרחבים וקטורים ומכפלות טנזוריות ביניהם. לא נדרש ידע בקטגוריות, אך היכרות בסיסית עם מושג הקטגוריה והפנקטור תעזור.
חילוץ כמתים היא תכונה לוגית של מבנים מתמטיים (מסדר ראשון) בהם כל הקבוצות הניתנות לתיאור ע"י כמתים (לכל x קיים y כך ש...., לכל אפסילון קיים דלתא וכו') ניתנות לתיאור ללא כמתים (לדוגמא - הן קבוצת הפתרונות למשוואה מסויימת). בהרצאה זו נסקור מה זה בדיוק אומר חילוץ כמתים ולמה לשדות סגורים אלגברית יש חילוץ כמתים. לאחר מכן נסקור מעט מושגים בסיסיים בגאומטריה אלגברית כמו טופולוגיית זריצקי ונראה, בעזרת שימוש בחילוץ כמתים לשדות סגורים אלגברית, הוכחה קצרה למשפט האפסים של הילברט (Nullstellensatz), משפט שעומד בבסיסה של הגאומטריה האלגברית. ההרצאה מכוונת לקהל רחב, החל משנה שנייה בתואר ראשון ועד למי שעוסקים במחקר פעיל בגאומטריה אלגברית, כך שכל משתתף יוכל לקבל ערך.
מאז ניסוחה של השערת טניאמה-שימורה-וייל, ידוע שזהו רק קצה הקרחון בנוגע לקשר העמוק הקיים בין פתרון משוואות במספרים שלמים לבין תבניות מודולריות. משפט המודולריות, שהוכח ב 2001, הינו רק מקרה פרטי של השערת לנגלנדס עבור החבורה $GL_2(Q)$, שעודנה פתוחה עד היום. עם זאת, נעשו התקדמויות רבות בכיוונה, ביניהן הוכחת התאמת לנגלנדס המקומית ב 2001 ל $GL_n(F)$ כאשר $F$ שדה $p$-אדי, וב 2002 הוכחת התאמת לנגלנדס ל $GL_n(F)$ כאשר $F$ שדה פונקציות, והוכחת הלמה היסודית ב 2008. אנו נסביר מהן ההשערות, מדוע הן מעניינות וכיצד הקהילה המתמטית מנסה להתמודד איתן.
זאת עובדה פשוטה להוכחה שסדרת ספרות האחדות (הימניות ביותר) של המספרים 2^n (כלומר, 2 בגובה n) היא מחזורית. האם אפשר להגיד משהו על הספרה השמאלית ביותר של המספרים 2^n? למשל, האם כל ספרה בין 1-9 מופיעה שם? אם כן, כמה פעמים ובאיזו תכיפות? מסתבר שעל השאלות הנ״ל ועוד שאלות דומות ניתן לענות בעזרת כלים בסיסיים בתורה ארגודית ואנליזה הרמונית. היכרות עם תורה ארגודית אינה הכרחית. ידע של סטודנט בשנה שנייה בתואר ראשון צריך להספיק, עם נכונות להאמין למשפט סטון-ויירשטראס.
נדמה כי אין שני נושאים רחוקים יותר האחד מהשני: מתמטיקה מתעסקת בתבניות מופשטות ואילו הפוליטיקה מתעסקת במאבק הכוחות האנושי, מתמטיקאים פועלים ב"מגדלי השן" ואילו הפוליטיקאים ב"שטח". בהרצאה זו נכיר נקודות מפגש בין שני העולמות הללו. נדון בשלוש תופעות פוליטיות שמאחוריהן מסתתר משפט מתמטי מעניין - מפות ו"המשפט הנהדר" של גאוס, שיטות בחירות ומשפט ארו, וניהול פרוייקטים וP=NP. לבסוף, נדון בתפקידם הפוליטי של מתמטיקאים ומדעני מחשב בעת הזו - בראי כניסתם של אלגוריתמים המסייעים בקבלת החלטות למערכת המשפט ולמוסדות משפיעים אחרים. או כמו שדוד בן מנסח זאת: "עם כוח גדול, באה אחריות גדולה".
הדרך הכי קלה היא להגיע לתחנה מרכזית ירושלים ולקחת את קו 68 לכיוון קמפוס גבעת רם. האוטובוס נכנס לתוך הקמפוס ואתן רוצות לרדת בתחנה השניה וללכת לפי המפה משמאל.
למגיעים מכיוון תל-אביב יש אפשרות להגיע (בתחב"צ או ברכב) לחניון שפירים ומשם לקחת קו 100 ישר לקמפוס!
כמובן שאין סידורי תחבורה ולינה מסודרים. יש שרשור טרמפים למי שמעוניינת להציע או למצוא טרמפ, ושרשור לינה לאנשים שיכולים להלין או מעוניינים להתלונן.
